기계제어. 스프링-댐퍼-질량계(기본모델)에서 전달함수 만들기

단순한 문제인데 10시간이 걸렸다... 바보인증!
잊지 않기 위해 직접 글을 올린다.

시행착오까지 함께 올리고자 한다.

문제.
다음 기계시스템의 전달함수를 구하라. 단, 힘f가 입력, 변위 y가 출력이다.
또한, 물체는 수평면상에서 운동한다.

키워드, Maxwell material, 스프링-댐퍼-질량 모델, RLC회로, 감쇠진동, 전기적 상사

(1)네이버 지식인 출처

 

(2)Maxwell material(출처, 위키피디아)

(3)Kelvin(캘빈)모델

(4)Maxwell material(2번째)

설명들어간다. 일단 (3)그림의 캘빈모델을 예로 들어보겠다.
그림은 귀찮기에 말로 설명한다.

작용하는 힘
중력 : 아래방향, mh
용수철 : 위쪽방향, mg+k[y(t)-u(t)]
댐퍼가 미치는 힘 : 위쪽방향, b(d/dt){y(t)-u(t)}

몇가지 설명이 잘 안되있는것이 있다. 정의를 하겠다.
일단 입력을 u(t)라고 하고, 출력을 y(t)라고 한다.
b는 댐퍼의 점성마찰계수, k는 용수철상수이다.
u(t)는 천정의 좌표이다. 저 그림은 다른곳에서 가져왔기에 표시되어 있지 않지만. 입력변수를 천정으로 하였다. 즉, 천정이 위아래로 움직일 수 있다는 뜻이겠지.
y(t)는 질량m의 물체의 좌표이다.(단, 천정기준이 아니다. 공간기준으로 생각하자)

일단 기본조건을 잡자.
u(t)=0일때, 그리고 질량m에 의한 중력 mg(아래방향)와, 댐퍼와 용수철의 힘(위쪽방향)이 균형을 갖출때를 기본으로 삼는다.

여기서 주의할것은 용수철에 대한 위의 식이다.
댐퍼쪽은 별 문제가 없다고 생각하지만...
용수철의 경우는 다시 한번 잘 생각하자.
일단 나는 기준을, 질량 m에 의한 아래방향 힘과 용수철 및 댐퍼에 의한 힘이 균형을 갖춘상태로 잡았다. 즉, 그 상태가 0인 상태라는 것이다. 그 상태에서 y(t)=0 이며 u(t)=0 이다.

착각하면 안될것은 내가 좌표라고 했다고 단순하게 천정에서 잰 용수철의 길이 자체를 y(t)로 생각하고 k에 곱해서는 안된다는 것이다.
공학도라면 알고 있듯이, kx(t)에서 x(t)란 kx(t)=0인 상태의 용수철 길이를 기준으로 삼고있다. x(t)란 그 상태를 0으로 잡은 후의 '변위'이다. 이를 착각하지 말자.
용수철 식에서 mg가 들어간 이유는 '질량과 균형'인 상태이기 때문이다. 균형이란 상태는 변화가 없는 상태이다. 당연히 y(t)와 u(t)변화가 없으니 댐퍼의 힘은 없는 상태로 하고, 그 상태에서 질량m의 물체는 계속해서 mg로 아래방향 힘을 가하며, 이에 대해 변위가 없다는 것은 용수철이 물체에 대해서 위쪽 방향으로 mg의 힘을 가하고 있는 상태라는 것이다. 따라서 기본 mg를 갖춘 상태에서 용수철의 변위에 따라 용수철쪽의 힘이 변하는 것이다.


알다시피 '계'에서 모든 힘은 평형인 상태이다.
물체가(이제부터 M이라 하겠다.), 좌표가 변할경우, 즉 M이 아래방향으로 움직이는 식으로 y(t)가 변할경우를 생각하자.

M이 아래로 움직인다는 것은 M에 대해 mg말고도 '여분'의 힘이 작용한다고 생각하자.
아래로 내려가는 물체 M의 힘은
m[(d/dt)^2]y(t)라고 할 수 있다.
물체 mg에 주어지는 힘은
mg-{mg+k[y(t)-u(t)]}-b(d/dt){y(t)-u(t)}이다.

이에 따른 결과가 m[(d/dt)^2]y(t) 인 것이다.

(d/dt)를 제어에서 미분연산자 s로 표현한다.

예쁘게 바꿔 표현하면
m(s^2)y(t)=-k[y(t)-u(t)]-bs[y(t)-u(t)]
가 되겠다.

Y(s)/U(s)= [k+bs]/[ms^2+k+bs]
되겠다.
물론 여기서 쭉~ 더 풀어서 시스템 방정식을 구해도 되지만 넘어가자...

참고로 u(t)를 0으로 하면 캘빈 방정식이 나오는데.
m(s^2)y(t)=F(t)= -ky(t)-b[dy(t)/dt]가 된다.
위키피디아에서 나오는 식과는 조금 다른데, 아마 방향때문이겠지.

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그럼 Maxwell model로 넘어가자. 그림(4)가 되겠다.

문제를 다시한번 상기한다.

문제.
다음 기계시스템의 전달함수를 구하라. 단, 힘f가 입력, 변위 y가 출력이다.
또한, 물체는 수평면상에서 운동한다.

(4)그림에는 안적혀 잇지만 질량 m물체 M밑에 아래화살표로 f가 되어있다.
y가 물체의 좌표이고
댐퍼의 점성마찰계수는 c라 한다.
용수철 상수는 k이다.

내가 잘못했던것부터 차근차근 가겠다.

일단 기본부터가 잘못됐었다.

처음에 생각했던것이... 아주 추상적인 생각이었다.

1)=> 물체 M과 용수철을 한덩어리로 본다. 용수철이 늘어난다고 해도 용수철과 물체를 한덩어리로 보면 댐퍼에 mg가 가해지는것 아니겠는가? 댐퍼와 물체 사이에서 일어나는 갖가지 힘은 결국 그 '계'안에서 상쇄될것이다.
------> 해봤지만 정답과는 아주 거리가 멀었다. 추상적인 생각이었기에 뭘 잘못했는지도 알 수 없었다.

참고로 추상적인 생각만 6시간동안 했다... 책부터 뒤져볼껄 그랬다.

2)=>댐퍼의 변위를 x로 생각한다. 용수철의 변위는 {y(t)-x(t)}가 될것이다.
m(s^2)y=-c[d/dt]x(t)-k[y(t)-x(t)]

----> 쓸데없는 변수를 만들었다. 식이 맞고틀리고는 둘째치고 결과낼때 x(t)를 못없애겠드라...

이 외에도 여러가지 생각해봤지만, 추상적으로 생각해봤자 무슨 결과가 나오겠는가...
결국 인터넷과 책들을 뒤져보았다.

일단 위키피디아에서 나오는 Maxwell material을 참조해보자.

Maxwell material
1. σ_Total = σ_D = σ_S

2. ε_Total = ε_D + ε_S

3.

4.

5.

이상의 식을 그림(2)를 참조하면서 알아보자.
1. 용수철과 댐퍼에 각각 '같은정도의 응력'이 작용한다.
2. 댐퍼와 용수철 각각의 변위의 합을 총 변위로 한다.
3. 총 변위 변화량 = 각 변위 변화량 합.
   -3번의 식을 잘 이해하도록 하자. n은 댐퍼의 점성마찰계수이고 E는 용수철상수이다. 시그마는
    응력이다.
결과적으로 5번의 식이 나온다.

위의 Maxwell material은 꽤 알려진 방정식같은데, 분명 문제와도 같은 모델일 터인데... 왠지 저 식으로는 문제를 해결할 수 없었다. 일단 1.조건 자체가 어떻게 성립하는지 증명을 못하겠다. 이에 대해서는 좀 더 조사가 필요한 듯 하다.
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미분방정식 책을 조사해 보았다.

스프링-댐퍼-질량 시스템

좌표y(t)에 따른 질량m의 물체 M의 가속도를 뉴턴의 제2법칙과 연관하여 생각하면

이다.
F는 질량 m에 작용하는 힘의 총합이며 이 힘에는 중력 F1, 스프링의 복원력 F2, 감쇠장치에 의한 작용력 F3가 포함되어 있다

F=F1+F2+F3

이에
F1=mg
F2=-k{s+y(t)}
F3=-c(dy(t)/dt)
-는 힘이 반대로 작용한다는 것을 의미한다.

여기서 s는 질량이 달리지 않은 상태의 용수철에 질량 m의 물체를 달았을때 용수철의 길이 변화량, 즉 질량체M과 균형을 갖게되면서 늘어난 길이 s이다.
즉, s=(질량체M이 달린 용수철길이-기본상태 용수철 길이) 이다.
즉, ks=mg이다.

각각 식을 대입하면

와 같은 식이 된다. y(t)에 대한 운동방정식이라 하겠다.

뭔가, 캘빈식과 같지 않은가? 분명 캘빈모델과는 다른 모델일 터인데 말이다. 나중에 교수님께 여쭤봐야겠다.

분명 이 식과 관련시켜 모델의 작용을 상상해보면 분명 틀린말은 아닌것 같다.
물론, 이를 확인해보지 않아 증명못하겠지만...

같은 모델일텐데 Maxwell material과는 식이 전혀 다르다.
일단 전제부터가 다르다.

Maxwell material에서는 댐퍼와 스프링에 걸리는 응력이 각각 같다고 나오는데.
여기에서는 각각에 걸리는 힘은 다르고 각각의 힘을 합친것이 힘의 총합이다.

'응력'과 '힘'의 개념을 잘못잡고있는 것일까?

그런데, 책을 읽다가 발견한것... 스프링-댐퍼-질량모델은 RLC모델과 같은 형태를 취한다고 볼 수 있다.

스프링-댐퍼-질량모델과 같은것을 전기회로인 RLC의 형태로 바꾸는것을 '전기적 상사'라고 한다.
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위와같은 RLC회로로 바꾸는것이 가능하다.

RLC회로에 대해서는 직접 알아보기를 권하지만 일단 간단하게 설명하자면.

각각 R, L, C를 저항과 같이 표현하면

이와같이 표현이 가능하다.

스프링-댐퍼-질량모델과 비교하자면

(1/C)<=>k
L<=>m
R<=>c
q<=>y
E<=>f

여기서 주의,  (1/C)<=>k 와, E<=>f 임을 명심하자
f는 질량 m에 주어지는 임의의 힘이다. 즉, 위에서 논의한 F~F3를 제외하고 임의로 힘이 주어졌을 경우를 이야기 한다.

최종적으로 위의 세 식중 제일 마지막 식이 스프링-댐퍼-질량 모델의 식과 유사한 형태를 띄고 있음을 알 수 있다. 물론 기본적인 식은 제일 위의 첫번째 식이고 이 역시 스프링-댐퍼-질량 모델의 식과 같다.
실제로 쓰이는 식은 첫번째 식이다.

여기서 또 주의. 과연 위의 RLC회로는 스프링-댐퍼-질량의 어떤 형태와 같은것일까?
Kelvin모델일까? Maxwell모델일까?
문제의 해결은 이것에서부터 시작한다.
그럼 문제를 해결하도록 하겠다.
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일단 결론부터 말하자면 위의 RLC회로는 Kelvin식이라고 할 수 있겠다.
단순하게 이치를 따지면서 생각해 보자.
위의 RLC회로는 '직렬'이다.
RLC회로의 '저항의'계산식은 '직렬식'이다.

그럼, 여기에서 발생할 수 있는 오류.
용수철의 직렬연결=RLC회로의 '저항의'직렬연결.

이는 잘못된 생각이다.

단순하게 생각해보자.
물체를 몇개의 용수철에 연결하여 천장에 매단다고 했을 때.
.용수철을 직렬로 연결할 경우, 이를 하나의 물체로 생각할 수 있다. 이 하나의 물체에 하나의 힘, 물체의 무게가 걸릴것이다.
.용수철을 병렬로 연결할 경우, 이를테면 5개의 용수철에 병렬로 연결하여 천장에 매달경우. 단순한 모델에서는 각각의 용수철에 물체 무게의 1/5씩 걸릴것이다.

전기회로에서는 저항을 직렬로 연결하여야 각각의 저항이 전력E(v)를 나눠가질것이다.
같은크기의 전류 I가 지나지만, 각각의 저항에 걸리는 전압은 다르다.

어쨌든, 위의 두 경우를 보면 용수철의 병렬연결이 전기회로의 저항의 직렬연결과 같다는걸 알 수 있다.

이에서 내가 수시간동안 바보같은 행동을 하고있었다는걸 알았다. 이를 금방 깨닫고 문제를 해결한 다른이들과 비교하면 나는 바보가 아닐까?

어쨌든 이에 의거하여 식을 다시 세워보자.
일단 [d/dt]=s라고 정의 해두겠다.

문제의 시스템은, 용수철과 댐퍼가 '직렬'로 연결되어 있지만, 전기회로와 비교해 보면 '병렬'연결이다.

문제의 해답식.

여기서 cs에 의문을 가질수도 있다. 식은 전혀 문제 없으나, 헷갈릴 수 있다.

댐퍼와 관련한 힘은
c:댐퍼의 점성마찰계수
s:[d/dt]

F(damper]=csy(t)이다.

전하 q와 전류I는 다르다. 이에대한 착각에서 오는 오류이다.

전기회로와 비교하자면 y(t)가 전하 q이고 sy(t)가 전류 I임을 명심하자

이 식을 보면 Rsq(t)가 보일것이다.
R에 대응하는것은 c이다. Rsq(t)에 대응하는 기계식은 csy(t)이다.
저항은 R이지만 q(t)에 관한식임으로 Rs를 하나로 묶어서 보자.
따라서 기계식에서도 cs를 하나로 묶어서 생각하자.
병렬상태에서 저항의 합성저항을 생각하면

'문제의 해답식'이 납득이 갈것이다.

이를 y(t)와 f의 관계식으로 나타내면

라는 결과가 나온다.

이걸로 이 문제는 끝...
너무나 귀찮은 작업이라서 그런지, 인터넷에서 이런 설명을 보지 못했다.
혹시나 나와같은 곤란에 처한 사람에게 이 글이 도움이 된다면 좋겠다.
도움이 된 사람에게 감사의 쪽지정도 받는다면 보람을 느낄 수 있겠다.

yeahhappyday@naver.com